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算法+数据结构(二)玩扫雷就是优化算法

admin 2019-5-28 15:27 143人围观 C++相关





引言



上篇文章介绍了算法的本质和基本概念《算法+数据结构(一)》,这次我们用实际的问题来做算法实战。

假设如下场景:

公司新年晚会进行夺宝游戏,奖品是最新款的智能手机、VR游戏机、便携电脑三件套。

游戏规则如下:

当主持人宣布游戏开始的时候,每位员工的手机上会同时收到两组数字(数组中的每个数字都是正整数且两两不等)和一个目标正整数。

员工需要在两组数字中分别取两个数字相加,使得相加的结果与目标正整数最接近。哪位员工先做出结果,那么奖品就归谁。

为了使赢率最高,请问应该采用什么样的策略或者方法?

显然,这是在对一个特定问题找方法。那么根据上篇文章所讲到的,这就是在求算法。

那么如何算法求解呢?

答案就在上篇文章提到的“朴素而广泛的方法论”中。这个方法论其实就是算法求解的套路。

套路第一步:重新定义问题,结构化描述



原问题是生活场景,要转换成结构化问题描述。结构化描述分为如下两步:数据与规则抽取、数据结构选择与转化。

数据与规则抽取

数据的来源: 数据一般在原问题描述中以名词、量词形式出现

数据的摘取:并不是所有的名词和量词都是有效数据。很明显,只有和问题求解相关的名词和量词才有意义。“问题求解”是动作,与动词相关。

那么是不是所有的动词都有效呢?也不是。只有和规则相关的动词才是有效的。 

规则的发掘:规则就是抵达结果的条件。

根据上面的定义, 不难看出

数据是:两组数字(数组中的每个数字都是正整数且两两不等)、一个目标整数

规则是:从两组数字中分别取两个数字相加,相加的结果必须与目标正整数最接近





数据结构选择与转化   



上篇文章已经讲到了:算法的依托是数据结构。如果把算法看做设计域的话,那么数据结构就是连接问题域到设计域的桥梁。那么如何选取合适的数据结构呢?

答案是:对上一步摘取的数据进行类型联想、关联。



上一步中,我们已经摘取了数据——两组数和一个正整数。很明显,这里涉及到两个类型:数组和整数。

而这两个属于基础数据结构类型,至此数据结构选择问题解决了。接下来就是要对摘取的数据,基于选择的数据结构进行转化——“重整化”:

        两组数字(数组中的每个数字都是正整数且两两不等)=> int A[]; int B[];

        目标正整数 => int c;

        聪明的你,一定会问一个问题:数据结构的选择仅仅就在这一步决定吗?

答案是否定的。数据结构的选择会贯穿整个算法设计,是一个不断迭代的过程。后面部分会详细阐述。

套路第二步:问题归类



算法问题的基本类型:搜索、排序、规划、计算。回到当前问题,根据问题描述,显然属于搜索类型。

套路第三步:经验匹配



现在我们来翻看已有的搜索算法,看看有没有能与当前问题匹配的。

理论上有3种情况:

第1种情况,100%匹配,此时“直接拿来主义”;

第2种情况,部分匹配,此时可在已有算法基础上进行调整、组合或者改良;

第3种情况,完全不匹配,此时需要我们根据已有知识(甚至是跨学科知识,比方说数学、生物等),创新性地开发新算法。

针对搜索问题,我们有一个万能算法——“暴力搜索”,即遍历每一种可能性,直到找到答案。

但是这个算法要穷尽所有可能性,所以带来的时间和空间开销通常都是巨大的,用上篇文章的术语来讲,就是计算复杂度贼高。

为了给大家一个量化感觉,先用“暴力搜索”算法来解答这个题。

 暴力搜索算法

对于数组A中的每一个元素进行遍历:

设当前元素为A[i],则:

遍历数组b中的每一个元素B[j]:

(i)计算A[i]+B[j]的值,将所求的值记为t;

(ii) 计算t-c的绝对值|t-c|,记为k;

(iii)  如果当前的k比历史的k小(k的初值可以设成一个极大值)。

那么: 将 {A[i], B[j]}取代之前的候选结果,作为新的候选结果,待所有的遍历结束,最终的候选结果就是所要求的解。

上面的算法有两重循环,所以暴力搜索时间复杂度为O(La x Lb)。

 其中La表示数组a中元素的个数,Lb表示数组b中元素的个数。

随着La和Lb的增大,复杂度以两者乘积速度上升。那么如何对暴力算法进行优化呢?

关于复杂度的计算,我会在下篇文章中详细介绍。



套路第四步:算法优化三步走



步骤1:

找到算法性能瓶颈源头,稍微分析一下,就明白:上述暴力搜索算法的开销在于穷尽了所有元素。

步骤2:

对源头进行改造,那么是否可以避免穷尽所有元素而得到结果呢?换言之,是否可以只比较部分元素、其他元素就自然被排除了呢?

要得到这样的效果,显然我们需要一种性质——这种性质必须是容易获得的:要么可以直接从当前数据中获取,要么可以通过已有方法(算法)获取。

最容易想到的就是有序性,这种性质可以通过排序算法获取。我们可以用快速排序算法对A数组和B组数进行排序,将排序后的元素按照下图放置:

(为了方便表示,我们假设A数组是10个元素,B数组是12个元素)



上图中的每个方格就是用来存放相加结果的。很显然,暴力搜索就是对上图中的每个方格都做了计算。

现在我们要做的,就是利用有序性,避开尽可能多的方格。

我们从右上角方格[A10, B1]开始遍历:

记s[A10, B1] = A10 + B1,则:

 (i) 如果s[A10, B1] == 目标正整数c,那么元素对{A10, B1}即为所求解

(ii) 如果s[A10, B1] < 目标正整数c, 那么所有与[A10,B1]在同一排的方格都不用计算了

原因如下:因为A1<=A2<=...<=A9<=A10,所以s[A1, B1] <= s[A2, B1] <= ... <= s[A10, B1],从而这些s距离c都比s[10, B1]远,都不是所求解。

(iii) 类似地,如果s[A10, B1] > 目标正整数c,那么所有与A[10, B1]在同一列的方格都不用计算了,显然,按照对角线方向来遍历,每遍历一个方格,就可以避开一排或者一列的方格,感觉就像在玩扫雷游戏:)











步骤3:验证

现在我们来验证一下优化后的算法的复杂度,整个算法分成两部分:

第1部分是快速排序。快速排序算法的时间复杂度是O(nlogn),所以这部分的时间复杂度是O(MAX(LalogLa, LblogLb))

第2部分是扫雷遍历。这部分最坏的情况就是走完整个对角线。此时共遍历La+Lb个方格,时间复杂度是O(La+Lb)

两者相加得到最坏情况下的整体时间复杂度为:O(MAX(LalogLa, LblogLb)+La+Lb)

好啦,就写到这里了,后续连载会持续更新...
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